FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS

1 LA FUNCIÓN EXPONENCIAL

Definición.  Sea  un número real positivo. La función que a cada número real x le hace corresponder la potencia  se llama función exponencial de base a y exponente x.  Como  para todo ,la función exponencial es una función de  en .  En el siguiente teorema, se presentan las propiedades más importantes de la función exponencial.      2.1.1  Teorema (Leyes de los Exponentes)  Sean a y b reales positivos y x,yΠ ,entonces:  1.   2.   3.   4.   5.  .  6 .  Cuando a > 1 ,si x < y, entonces,  .Es decir, cuando la base a es mayor que 1,la función exponencial  de base a es estrictamente creciente en su dominio.  Cuando 0 < a < 1, si x < y , entonces,  .  Esto significa que la función exponencial de base a < 1 es estrictamente decreciente en  su dominio.   .  10.Si 0< a < b ,se tiene:    .  Esta propiedad permite comparar funciones exponenciales de diferentes bases.  11. Cualquiera que sea el número real positivo ,existe un único número real tal que   . Esta propiedad indica que la función exponencial es sobreyectiva.  Cuando x e y son enteros, los propiedades enunciadas anteriormente pueden demostrarse usando las definiciones y el teorema 1. Para el caso en el cual x e y son racionales, la demostración utiliza la definición y el teorema 2. Para el caso general, es decir, cuando x e yson reales, la demostración utiliza elementos del análisis real.    2.-FUNCIÓN LOGARÍTMICA Las inversas de las funciones exponenciales se llaman funciones logarítmicas.  Como la notación f-1  se utiliza para denotar una función inversa,entonces se utiliza otra notación para este tipo de inversas.  Si f(x) = bx, en lugar de usar la notación f-1(x), se escribe logb (x) para la inversa de la funcióncon base b. Leemos la notación logb(x) como el  “logaritmo de x con base b”, y llamamos a la expresión logb(x) un logaritmo.  Definición:  El logaritmo de un número y es el exponente al cual hay que elevar la base  b  para obtener  a  y.   Esto es,  si  b > 0  y   b  es  diferente  de cero,   entonces logb y = x  si y sólo si  y = bx. Nota:  La notación logb y = x se lee “el logaritmo de y en la base b es x”. Ejemplos: 1)  ¿A qué exponente hay que elevar la base 5 para obtener 25?  Al exponente 2, ya que 52 = 25.  Decimos que “el logaritmo  de 25 en la base 5 es 2”.  Simbólicamente lo expresamos de la forma log5 25 = 2.   De  manera que,  log5 25 = 2  es  equivalente a  52 = 25.  (Observa que un logaritmo es unexponente.) 2)  También podemos decir que 23 = 8 es equivalente a log2 8 = 3. Nota:  El dominio de una función logaritmo es el conjunto de todos los números reales positivos y el recorrido el conjunto de todos los números reales.  De manera que, log10 3  está definido, pero el log10 0  y  log10 (-5) no lo están.  Esto es, 3 es un valor del dominio logarítmico, pero 0 y -5 no lo son.